Contoh Soal Integral Tentu, Tak Tentu, Substitusi, Parsial + Pembahasannya

contoh soal integral
Ilustrasi oleh dribbble.com

Contoh soal integral dan pembahasannya lengkap akan dibahas pada artikel ini. Terdapat beberapa operasi integral yaitu integral tentu, tak tentu, substitusi dan parsial.

Integral merupakan suatu konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Serta bersama dengan inversnya, diferensiasi, merupakan satu dari dua operasi utama dalam kalkulus.

Atau pada operasi matematika integral merupakan suatu bentuk yang mana menjadisuatu kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Contoh soal integral

Jika f berupa integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses memecahkan antiderivatif yaitu antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberi cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Rumus Integral

Berikut ini terdapat beberapa rumus integral, terdiri atas:

1. Rumus Integral Tentu

Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pada selang tutup (a,b) maka integral tentu f dari a sampai b dinyatakan oleh:

rumus integral tentu

Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan a integral b disebut tanda integral tentu.

2. Rumus Integral Tak Tentu

Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut:

rumus integral tak tentu

Keterangan:

  • ʃ = operasi antiturunan atau lambang integral
  • C = konstanta integrasi
  • f(x) = fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannya
  • F(x) = fungsi hasil integral

3. Rumus Integral Subtitusi

Integral subtitusi pada integral dilakukan apabila satu bentuk integral tidak dapat langsung diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral.

Integral bentuk ini terlebih dahulu diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral, yaitu dengan cara mensubtitusikan variabel baru, yaitu dengan mensubtitusikan u = (x).

integral substitusi

4. Rumus Integral Parsial

Integral parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi. Menghitung integral parsial didefinisikan sebagai berikut:

integral parsial

Contoh Soal Integral

Contoh Soal Integral Tentu

  1. Tentukan hasil integral tentu dari ʃ-1-4 7 dx !

Pembahasan:

Jadi,  hasil integral tentu dari ʃ-1-4 7 dx adalah 21.

Baca Juga  Program Linear

2. Berapakah nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x– 2x + 1 dx ?

Pembahasan:

Jadi, nilai integral tentu dari ʃ-2-2 3x– 2x + 1 dx adalah 20.

3. Carilah hasil integral tentu dari ʃπ/3π/6 cos x dx

Pembahasan:

Jadi, hasil integral tentu dari ʃπ/3π/6 cos x dx adalah ½ √3 – ½.

Contoh Soal Integral Tak Tentu

  1. Carilah hasil integral tak tentu dari ʃ 8x– 6x+ 4x – 2 dx.

Pembahasan:

Jadi hasil dari ʃ 8x– 6x+ 4x – 2 dx adalah 2x– 2x+ 2x2 – 2x + C.

2. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx !

Pembahasan:

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

3. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !

Pembahasan:

ʃ dx/(3x2) =  ʃ ⅓ x–2  dx

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.

Contoh Soal Integral Parsial

  1. Tentukan hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx !

Pembahasan:

Misal

u = 2x+1

dv = cos (x + π) dx

Maka

du = 2 dx

v = ʃ cos (x + π) dx = sin (x + π)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − ∫ sin (x + π) . 2 dx 

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) − 2 (− cos (x + π)) + C

∫ u dv = (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C

Jadi, hasil dari ʃ (2x+1) cos (x + π) dx adalah (2x+1) . sin (x +π) + 2 cos (x + π) + C.

2. Berapakah hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx

Pembahasan:

Misal

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Maka

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = − ⅓ cos (3x + 2)

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = (3x + 2) . (− ⅓ cos (3x + 2)) − ∫ (− ⅓ cos (3x + 2)) . 3 dx

∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + ⅓ . ⅓ sin (3x + 2) + C

∫ u dv = − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C

Jadi, hasil dari ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx adalah − (x+2/3) . cos (3x + 2) + 1/9 sin (3x + 2) + C.

3. Hitunglah hasil dari ∫ x sin x dx = …

Pembahasan:

Misal

Baca Juga  7+ Contoh Teks Hikayat: Pengertian, Ciri, dan strukturnya [LENGKAP]

u = x

dv = sin x dx

Maka

du = 1 dx

v = ʃ sin x dx = − cos x

Sehingga

∫ u dv = uv − ∫v du

∫ u dv = x . ( − cos x) − ∫(− cos x) dx

∫ u dv = − x cos x + sin x + C

Jadi, hasil dari ∫ x sin x dx adalah − x cos x + sin x + C.

Contoh Soal Integral Subtitusi

Itulah pembahasan contoh soal integral tentu, tak tentu, parsial dan substitusi beserta pembahasannya. Semoga bermanfaat!

Referensi:

  • rumusrumus.co
  • dosenpendidikan.co.id
  • rumuspintar.co

Contoh Soal Integral Tentu, Tak Tentu, Substitusi, Parsial + Pembahasannya